Фамилия Яганшина образована от мужского имени Яганша, которое имеет тюркское происхождение. В его основе лежит арабское имя Йахйа, соответствующее библейскому Иоанну и евангельскому Иоанну Крестителю. В тюркских языках имя приобрело форму Яганша, где суффикс -ша — уменьшительно-ласкательный, характерный для татарской и башкирской антропонимии. Таким образом, Яганша — это «маленький Йахйа» или просто ласковое производное от этого имени.

Фамилия Яганшина — женская форма, а мужской вариант — Яганшин. Она относится к патронимическому типу, то есть указывает на отца по имени: «чей?» — Яганшин, то есть сын Яганши. Суффикс -ин в русских фамилиях тюркского происхождения встречается часто, так как он стандартно оформляет фамилии от основ на -а, -я. Подобная модель типична для татарских, башкирских и других тюркских фамилий, русифицированных в XVI–XIX веках.

Географически фамилия Яганшина распространена в регионах с татарским и башкирским населением — в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской, Челябинской и Самарской областях. Встречается она и у русских, но исходно её носители — потомки служилых татар, которые после присоединения Казанского и Астраханского ханств переходили на русскую службу и получали земельные наделы. Со временем фамилия закрепилась в документах и перешла в разряд наследственных.

Можно сравнить Яганшину с однокоренными фамилиями: Яганов, Ягандаев, Ягафаров. Все они восходят к тому же корню Йахйа, но различаются суффиксами и фонетическими адаптациями. Яганшин стоит особняком благодаря уменьшительной форме имени-основы, что делает фамилию более «домашней» по происхождению — она могла возникнуть не от официального имени, а от того, как человека звали в быту.

В словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные образования описаны как типичные для восточнославянского оформления тюркских имён. Фамилия Яганшина не редкая, но и не массовая — её носители сосредоточены в Поволжье и Приуралье. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами из татарской или башкирской среды, принявшими православие или сохранившими мусульманскую веру, но адаптировавшими фамилию под русскую грамматику.