Фамилия Яннер — редкая для России и почти наверняка нерусская по происхождению. В русском языке нет исконной основы «янн-» с суффиксом -ер, который нехарактерен для восточнославянских фамилий. Чаще всего фамилия Яннер встречается у немцев, евреев ашкеназов и финнов, а в России — у потомков немецких колонистов или прибалтийских переселенцев.

Самая вероятная версия — немецкая. В немецком языке фамилия Jänner восходит к слову «Januar» (январь) или к имени Johann (Иоганн). В южнонемецких диалектах «Jänner» — это и есть январь. Фамилию могли дать человеку, родившемуся в январе, либо связанному с зимними работами или праздниками. Вторая немецкая линия — от личного имени Johann через суффикс -er, который в немецких фамилиях часто указывает на принадлежность: «сын Иоганна» или «человек Иоганна». В этом случае Яннер — аналог русской фамилии Иванов, но образованный по другой модели.

Менее распространённая, но возможная версия — финская. В Финляндии и Карелии известна фамилия Jänner, которая может быть вариантом от Jännes (сухожилие, жила) или от Jänis (заяц). В таком случае прозвище могло относиться к человеку с крепким телосложением или, наоборот, к быстрому и пугливому. Однако в финском словообразовании суффикс -er встречается реже, чем в немецком, поэтому эта гипотеза слабее.

В России фамилия Яннер — штучная. В дореволюционных метриках и ревизских сказках она фиксируется в колониях поволжских немцев (Саратовская, Самарская губернии) и у лютеранских семей в Петербурге. В советское время носители фамилии рассеялись по Уралу, Сибири и Казахстану в ходе депортаций. Если ваши предки — Яннеры, с высокой вероятностью они были немцами-колонистами или выходцами из Прибалтики, а фамилия передавалась без изменений, в отличие от многих русифицированных немецких фамилий, которые обрусели через суффиксы -ов, -ин.

В написании возможны варианты: Jänner (с умлаутом), Janner, Jänner. В русских документах умлаут исчезал, и фамилия закреплялась как Яннер. Двойное «н» в немецком оригинале не редкость — оно часто появляется при присоединении суффикса -er к основе, оканчивающейся на -n (Johann > Johanner > Janner). Так что двойная «н» — не ошибка, а следствие словообразования.