Фамилия Ярмущева — женская форма фамилии Ярмущев. Её основа неочевидна на первый взгляд, и разобрать её стоит через словообразовательную модель. Суффикс -ев (в мужском варианте) указывает на притяжательное значение: «чей?» — Ярмуща. То есть в основе лежало прозвище или некалендарное имя Ярмущ.

Что могло значить это слово? Самый вероятный путь — через диалектное или профессиональное прозвище. В русских говорах слово «ярмушка» фиксировалось как название шапки, колпака, иногда — детской шапочки. Отсюда «Ярмущ» — человек, носивший такую шапку, либо тот, кто их шил или торговал ими. Это типичная модель образования прозвищ по головному убору (ср. Шапкин, Колпаков, Картузов). Версия с тюркским корнем (например, от «ярмук» — повязка, налог) менее вероятна, так как фамилия по ареалу тяготеет к центрально-русским и поволжским областям, где промысловые прозвища были обычны.

У фамилии есть редкая особенность: написание через -щев, а не через -шов или -шев, что встречается у фамилий от аналогичных основ (сравните Ярмошев — от Ярмош, формы имени Ермолай). Вариант Ярмущев сохранил древнюю основу без смягчения, что говорит о поздней фиксации фамилии в письменных источниках, уже после закрепления произношения.

Социальный состав носителей, скорее всего, был крестьянским или ремесленным. Фамилия не дворянская и не духовная (для последних характерны суффиксы -ский/-цкий). Появление её в метрических книгах XIX века можно ожидать в Рязанской, Тамбовской или Нижегородской губерниях — регионах развитого шапочного и валяльного промысла.

Коротко: предок Ярмущевых получил прозвище по шапке — либо по её фасону, либо по профессии. Фамилия редкая, с прозрачной, но не лежащей на поверхности этимологией.