Фамилия Ястримский — редкий случай, когда основа почти наверняка не славянская, а польская или белорусская, и связана она не с именем или профессией, а с географическим названием. Типичный суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение: в Речи Посполитой такие фамилии получали владельцы поместий или выходцы из конкретного села. Скорее всего, предок носителя фамилии был шляхтичем из местечка Ястрембец (польск. Jastrzębiec) или Ястребино, а фамилия записалась в русской канцелярии с искажением: польское Jastrzębski или Jastrzębski превратилось в Ястримский.

Слово-основа — польское jastrząb (ястреб). В польской геральдике известен герб Ястржембец (Jastrzębiec) с изображением подковы и креста, который носили многие шляхетские роды. Если фамилия происходит от прозвища, то его дали либо охотнику, либо человеку с острым взглядом и хищным нравом. Но версия с географическим корнем выглядит убедительнее: на картах Польши и Западной Беларуси встречаются деревни Ястремб, Ястшембе, Ястржембе — от них и образовывали фамилии на -ский.

В русском языке фамилия прижилась в необычной форме: вместо ожидаемого Ястрембский или Ястшембский появился вариант Ястримский. Это могло произойти из-за того, что при переписи или в метриках польское звучание записывали на слух, а позже букву «е» заменили на «и» под влиянием акающего говора. Встречается фамилия в основном у потомков польской шляхты, переселившихся в центральные губернии России в XVIII–XIX веках.

Сравните с однокоренными фамилиями: Ястребов — чисто русская, отчество от прозвища; Ястшембский — польский вариант с сохранением шипящего; Ястримский — промежуточная форма, которую можно считать русифицированной. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они были мелкими землевладельцами или служилой шляхтой, а не крестьянами.