Фамилия Яунбаев — редкий пример, где основа и суффикс выдают нерусское, скорее всего тюркское происхождение, адаптированное русской моделью фамилии. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев, образованных от крестильных имён или прозвищ, здесь корень явно иноязычный, а суффикс указывает на то, что фамилия оформлялась уже в русской среде или через документы.

Разбираем состав: Яунба-ев. Суффикс -ев типичен для фамилий, образованных от основ, оканчивающихся на мягкий согласный или -й. Основа «Яунба» — это, вероятно, искажённое или адаптированное тюркское имя или прозвище. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) распространён компонент «ян» или «йан», означающий «душа», «близкий», «дорогой». Вторая часть «бай» — «богач», «хозяин», «господин», часто встречается в именах и титулах (например, Акбай, Баймурат). Таким образом, «Яунбай» (в исходной форме) могло означать «богатый душой» или «дорогой господин» — личное имя-пожелание.

Скорее всего, фамилия Яунбаев образована от имени Яунбай (вариант Янбай или Йанбай), которое бытовало у тюркских народов Поволжья и Приуралья. Когда носитель такого имени попадал в русскую среду (например, при крещении или при записи в ревизские сказки), его имя русифицировали, добавив типовой фамильный суффикс. Географически фамилия может тяготеть к Башкортостану, Татарстану или Оренбургской области, где смешение тюркских и русских антропонимических традиций дало множество подобных фамилий.

Встречается вариант написания Яунбаев, но более распространённым аналогом является Янбаев — с тем же значением, но без диалектного перехода «йа» в «яу». Если ваш предок носил фамилию Яунбаев, велика вероятность, что он был выходцем из тюркской среды, возможно, тептярей или башкир, чьё родовое имя закрепилось в документах уже в XIX веке. Ударение, судя по типовой модели, падает на последний слог: Яунба́ев.