Фамилия Забивкины образована от прозвища или мирского имени Забивка. Основа «забив-» сразу отсылает к глаголу «забивать» — вбивать гвозди, заколачивать что-то. В русских говорах у слова «забивка» было несколько значений: так называли деревянный молоток (киянку), а также плотную набивку (например, пакли в щели). Человек, получивший такое прозвище, скорее всего, был плотником, конопатчиком или мастером по дереву — тем, кто постоянно что-то забивал.

По модели образования фамилия типична для северных и центральных областей России: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Забивкин, то есть сын или потомок Забивки). Форма множественного числа Забивкины закрепилась, когда фамилию стали передавать целой семье или роду. Встречается она нечасто, и это говорит о локальном происхождении: скорее всего, предки жили в одной местности, где прозвище было понятным и отличало одну семью от других.

Менее вероятная, но допустимая версия связывает «забивку» с переносным смыслом — «забивной» человек, то есть настойчивый, пробивной, упрямый. Однако в основе фамилий чаще лежат конкретные занятия, а не черты характера, поэтому плотницкая версия надёжнее.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Забиякин, Заболотин — показывает, что Забивкины стоят особняком: у них нет суффикса -як- или -от-, а есть чистая глагольная основа, что редкость. Если у вас в роду были мастера по дереву или строители, фамилия может указывать на это ремесло напрямую, без иносказаний.