Фамилия Забзина — женская форма от Забзин, а тот, в свою очередь, образован от прозвища или имени Забза. Чтобы понять корень, придется заглянуть в диалектную лексику: в некоторых русских говорах, особенно на севере и в Сибири, «забза» или «забзун» означало ворчливого, брюзгливого человека, того, кто постоянно «забзит» — то есть надоедает, придирается, ноет. Слово звукоподражательное, похожее на «зыкать» или «бзыкать» — издавать резкий, неприятный звук. Таким образом, первый носитель фамилии, скорее всего, получил её за свой неуживчивый характер или привычку постоянно выражать недовольство.

Впрочем, есть и другая, более нейтральная версия. В тех же северных говорах «забза» могло быть просто детским прозвищем или ласковым обращением, зафиксированным в словаре Даля: «забза — капризное, плаксивое дитя». Здесь нет резко отрицательного оттенка — скорее бытовое, семейное прозвище, которое привязалось к ребенку и потом перешло в фамилию. Обе гипотезы сходятся к одному корню, связанному с глаголом «бзеть» (в диалектах — плакать, хныкать) или «бзырить» (шуметь, буянить).

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Забзин буквально означал «сын Забзы», «из семьи Забзы». Это типичная патронимическая модель для центральной и северной России, где фамилии на -ин образовывались от основ на -а, -я. Фамилия редкая, нераспространённая среди дворянства или купечества — её носителями были, скорее всего, крестьяне или посадские люди из Архангельской, Вологодской или Вятской губерний, где диалектная лексика сохранялась дольше всего.

Забавно, что в современном русском языке слово «забза» полностью вышло из употребления, и фамилия стала «тёмной» — её корень не угадывается без специального этимологического разбора. Это типичный случай, когда прозвище, данное по поведению или привычке, превратилось в фамилию, а исходное слово исчезло из активного словаря. Если искать аналогии, то Забзины стоят в одном ряду с Ворчун, Брюзгин или Пискун — только с куда более редкой и диалектной основой.