Фамилия Загивий — редкая, нестандартная для русского слуха. Её форма сразу выдаёт украинское происхождение: типичный украинский суффикс -ий, который в русском языке часто заменяли на -ов или -ев. В украинской ономастике такие фамилии называются «патронимическими прилагательными» — они отвечали на вопрос «чей?» и указывали на прямую связь с отцом или прозвищем.

Основа фамилии — «загив» или «загива». Это диалектное украинское слово, означающее «загиб», «изгиб», «кривизна». Прозвище Загив мог получить человек с какой-то заметной особенностью: сутулый, с искривлённой спиной, хромой или тот, кто ходил, слегка сгибаясь. В переносном смысле так могли назвать и хитрого, «изворотливого» человека — того, кто умел обходить острые углы в разговоре или деле. В говорах западной Украины слово «загив» также связывали с изгибом дороги или реки — возможно, прозвище давали тому, кто жил на повороте, на излучине.

По модели образования фамилия Загивий — типичный пример украинских фамилий на -ий, которые не перешли в русскую форму с суффиксом -ов. Сравните с однокоренными: Загиба (прозвище) → Загибин (русская версия), Загив → Загивий (украинская). Встречается и вариант Загивый — с твёрдым окончанием, но именно форма Загивий сохраняет исходное мягкое произношение, что указывает на её юго-западное происхождение.

В исторических документах фамилия почти не фиксируется — это говорит о её локальном бытовании, скорее всего, в сёлах Черниговской, Полтавской или Киевской губерний. Носители Загивий, вероятно, были крестьянами или казаками: украинские фамилии на -ий редко встречались у дворянства, которое предпочитало польские или русские модели.

Если встретите человека с фамилией Загивий сегодня — перед вами, скорее всего, потомок выходца из Украины, чьи предки сохранили редкое прозвище, не переделав его на русский лад. В этом и ценность: фамилия не стёрлась под влиянием бюрократии, а дожила до наших дней в первоначальной форме.