Фамилия Закотнев — редкий случай, когда географическая привязка объясняет почти всё, а споры о корне сводятся к одному диалектному слову. Основа фамилии — «закотный» или «закотной». В южнорусских и украинских говорах «кот» (или «коть») означало не домашнее животное, а временный шалаш, землянку, укрытие для скота или рыбацкий стан. Соответственно, «закотный» — тот, кто живёт за котом, то есть за пределами основного поселения, на выселках, в отдалённом хуторе. Суффикс -ев- указывает на притяжательную форму: буквально «чей?» — Закотнев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Закотный.

Написание фамилии устойчиво и не даёт вариантов вроде Закотнёв (с ё), что говорит о фиксации в документах уже после реформы орфографии. Встречается фамилия преимущественно в Ростовской области, в Краснодарском крае и в восточных областях Украины — то есть там, где слово «кот» в значении «шалаш» было в ходу. Если ваш предок носил фамилию Закотнев, он с большой вероятностью происходил из крестьян-однодворцев или казаков, живших не в центральной деревне, а на отшибе, на дальнем поле или у реки.

Другие версии, связывающие фамилию со словом «кот» как животным или с глаголом «котить» (катить), выглядят натянутыми: слишком много промежуточных звеньев, которые не подтверждаются ни говорами, ни документами. Ономастика знает немало фамилий на -отнев (Колотнев, Болотнев), но Закотнев стоит особняком именно из-за прозрачного приставочного образования «за-». Это не уменьшительная форма и не профессиональное прозвище — это чистая топографическая характеристика места жительства.

Интересная деталь: в некоторых переписях XIX века фамилия могла записываться как Закотной, а потом переоформилась в Закотнев под влиянием стандартной модели на -ов/-ев. Но в современном виде она сохранила редкий суффиксальный вариант, который не даёт спутать её с массой «кошачьих» фамилий вроде Котов или Кошкин. Таким образом, Закотнев — это не про животных, а про конкретное место: житель за окраиной, на отшибе, в закотном хуторе.