Фамилия Заьковая — редкий случай, где написание сразу подсказывает, как её не следует искать в документах. Буква «ь» перед «к» — это не орфографическая ошибка, а следствие старого произношения или записи на слух. В большинстве современных вариантов фамилия выглядит как Зайковая или Зайкова. Если ваш предок писался через мягкий знак, это не меняет сути: основа та же — «зайка».

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ов-/-ев- (в женском роде -овая) указывает на принадлежность. В русской ономастике фамилии на -овая (Заьковая, Петровая) встречаются реже, чем на -ова (Заькова), и характерны скорее для южнорусских и украинских говоров, где притяжательные прилагательные могли оформляться именно так. Мужской вариант — Заьков или Зайков.

Корень «зайк-» восходит к прозвищу Зайка. Оно могло быть дано человеку за робость, пугливость, быструю походку или любовь к заячьему мясу. В русских деревнях прозвища по животным были обычным делом: Зайка, Волк, Медведь. Учитывая, что заяц — зверь нехищный, прозвище чаще не обижало, а скорее подшучивало над характером или внешностью — например, за длинные зубы или торопливость.

Географически фамилия Зайков (и её варианты) распространена в северных и центральных областях России, но форма Заьковая с мягким знаком может указывать на запись в условиях, где писарь не различал твёрдый и мягкий знаки или просто передавал местное «якающее» произношение. Встречается она преимущественно в документах XIX — начала XX века.

Стоит отметить, что фамилия Зайков упоминается в исторических источниках: в «Ономастиконе» С. Б. Веселовского есть Зайко — крестьянин в Новгородской земле (XV век). Однако конкретно Заьковая — скорее локальный вариант, который мог закрепиться в одном-двух селениях и не получить широкого распространения.

Таким образом, если вы носите фамилию Заьковая, ваш предок, скорее всего, был крестьянином или мещанином, которого в быту звали Зайкой — по какой-то заметной черте. А буква «ь» в фамилии — это не ошибка, а живой след того, как когда-то прозвище произносили и записывали.