Фамилия Заржинская — вариант женского рода от фамилии Заржинский. Её основа, скорее всего, связана с польским или западнорусским словом «жар» или «зар» (zаr — в польском «жар»), но с приставкой «за-». Такая модель образования типична для фамилий на -ский/-цкий, которые в Польше и на западе Российской империи (Беларусь, Украина) часто давали по названию места жительства. Вероятно, предок носительницы фамилии происходил из населённого пункта с названием Заржин, Заржа или Заржино — такие топонимы встречаются в Польше и в западных областях бывшей Речи Посполитой.

Суффикс -инск-/-ынск- в этой фамилии указывает на принадлежность к месту: «из Заржина». Мужская форма Заржинский образована по той же модели, что и Варшавский (от Варшава) или Житомирский (от Житомир). Важно, что ударение в фамилии падает на второй слог: Заржи́нская. Это отличает её от фамилий, образованных от слова «заря́» (с ударением на последний слог), — например, Заря́нский.

Есть и другая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть от прозвища Заржа (от глагола «заржаветь» или польского zarza — «зарница», «отсвет пожара»). Но в таком случае ожидалась бы форма Заржинский от Заржа — как от Кузня образована Кузнинский. Поскольку в основе лежит «Зарж-» с суффиксом -ин-, логичнее предположить топонимическое происхождение: землевладелец или арендатор, получивший фамилию по названию своего имения или хутора.

Фамилия редкая, не встречается в массовых списках дворянских родов Российской империи. Скорее всего, её носители принадлежали к мелкой шляхте или крестьянству западных губерний (Могилёвская, Витебская, Гродненская). В современной России и Беларуси Заржинские встречаются единично, что подтверждает локальное происхождение фамилии. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в бывших польских воеводствах или на территории современной Беларуси — там, где в названиях деревень есть корень «жар» или «зар».