Фамилия Затуринский — редкий пример, где географическая привязка почти очевидна, но конкретное место не лежит на поверхности. Основа «Затур-» легко читается как «за турой»: за рекой Турой, за городом Турой, за урочищем с таким названием. В русской ономастике фамилии на -ский традиционно указывали на владельческую или топонимическую принадлежность, то есть предок мог получить прозвище по месту жительства — «тот, кто живёт за Турой».

Река Тура — крупный приток Тобола в Западной Сибири, на ней стоят Тюмень, Верхняя Тура, Нижняя Тура. Если предок жил на противоположном от основного поселения берегу или за рекой в глухой стороне, его могли назвать Затуринским. Но возможен и другой вариант: фамилия могла возникнуть от названия деревни Затурино или Затурье — такие топонимы встречаются в Вятской и Пермской губерниях, где тоже были свои «туры» (от финно-угорского «тур» — озеро, заводь). В этом случае Затуринский — типичная семинарская или дворянская фамилия, образованная по модели «от названия села + -ский».

Суффикс -инск- указывает на относительно позднее происхождение, скорее всего XVIII–XIX век. В крестьянской среде такие фамилии часто давали при переписях или при поступлении в духовные училища. Если человек из деревни Затурино поступал в семинарию, ему меняли фамилию на более благозвучную — Затуринский. Поэтому среди носителей могли быть как священники, так и выходцы из мещан или государственных крестьян.

Спорный момент: некоторые любители этимологии связывают фамилию с тюркским «тур» — стой, остановись, или с древнерусским «тур» — дикий бык. Но это натяжка: приставка «за-» в русских фамилиях почти всегда указывает на положение за объектом, а не на отношение к животному. Версия с рекой или деревней гораздо правдоподобнее и подтверждается типовой моделью русских фамилий на -ский.

Фамилия редкая, в современных справочниках нечастотна. Встречается в основном на Урале и в Западной Сибири — там, где протекает Тура, и в бывших Вятской и Пермской губерниях. Если ваши предки оттуда, скорее всего, фамилия идёт от места жительства за рекой или от названия маленькой деревни, которая могла уже исчезнуть с карт.