Фамилия Затурская — типичный пример «географической» фамилии, образованной по модели, характерной для польской и западнорусской шляхты. Её основа — топоним Затурье или Затура. Таких названий в Польше, Беларуси и на Западной Украине несколько: например, село Затурье в Волынской области или Затура в Лодзинском воеводстве. Суффикс -ск-/-цк- указывает на связь с местностью: Затурский буквально значит «тот, кто из Затурья».

Разберём корень. Затурье — это место «за туром». В древнерусском и польском языках «тур» — дикий бык, зубр. Название могло означать «поселение за лесом, где водятся туры» или «за холмом, похожим на тура». Впрочем, есть и более прозаичная версия: «тур» — это также старое слово для обозначения корзины, плетёного загона для скота, так что Затурье могло быть «деревней за загоном». Какая из версий верна — зависит от конкретного села, но обе имеют право на существование.

Окончание -ая в женском роде (Затурская) — это грамматическая норма для фамилий на -ский/-цкий. Мужской вариант — Затурский. Такие фамилии в старину часто носили дворяне и духовенство, но не исключительно: крестьяне, переселившиеся в другой приход, тоже могли получить прозвание по покинутой деревне.

Интересная деталь: в польской ономастике фамилия Zaturski встречается чаще, чем в русской. В России она редка и почти всегда указывает на западное (польское, белорусское или украинское) происхождение рода. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в документах Речи Посполитой — метриках костёлов или униатских церквей.

Сравните с однокоренными фамилиями: Затурный, Затуров — у них та же основа, но иная модель образования (без топонимического суффикса). Затурский же — «шляхетский» вариант, который закрепился за теми, кто владел землёй или долго жил в одном месте.