Фамилия Заварницына — женская форма от Заварницын, и её происхождение неоднозначно. В основе лежит прозвище Заварница, которое можно толковать по-разному.

Самая прямая версия: Заварница — это просторечный вариант слова «заварник», то есть небольшой чайник для заваривания чая. В таком случае прозвище мог получить заядлый чаёвник или купец, торговавший чаем. Однако не исключено, что прозвище связано с глаголом «варить»: так могли называть кашевара или повара, который «заваривал» еду.

Совсем иной поворот даёт географическая версия. Заварница — это человек, который живёт «за Варной». Варна — болгарский город на Чёрном море. Этимология самого названия Варна спорна: его выводят из праславянского *uarna («ворона», «вороной», то есть «чёрный»), из фракийского («город на воде») или из аварского (от «вар» — «город» либо «известь, известняк»). Если принять эту версию, предок Заварницыных мог переселиться из окрестностей Варны или получить прозвище после долгого пребывания там.

Какая из версий правдоподобнее? Бытовая, с заварником, проще и естественнее для русской прозвищной традиции: такие «кухонные» прозвища давали часто. Географическая версия сложнее: она требует, чтобы прозвище возникло в среде, где Варна была хорошо известна, что для русских земель маловероятно. Поэтому первая гипотеза выглядит убедительнее.

Сама модель образования фамилии — через суффикс -ин от прозвища на -а (-я) — типична для северных и центральных областей России. Фамилия Заварницына встречается редко, что тоже говорит в пользу узкого, локального происхождения: скорее всего, она возникла в одной семье или в одном селе.