Фамилия Завекина — женская форма мужской фамилии Завекин. Её основа, скорее всего, связана с древнерусским нецерковным именем или прозвищем Завека. Второй элемент «век» в старорусском языке означал не только столетие, но и срок жизни, судьбу, долю. Прозвище Завека могли дать человеку, который, по народным представлениям, «завековал» — то есть засиделся в холостяках или девках, остался без семьи, прожил век в одиночестве. В некоторых говорах «завековать» значило также «зажиться, прожить слишком долго», что могло относиться к долгожителю.

Модель образования фамилии простая: суффикс -ин указывает на принадлежность. Завекин — сын Завеки. Такая форма типична для северных и центральных регионов России, где прозвища часто переходили в фамилии без дополнительных суффиксов (как, например, в фамилиях на -их/-ых). Встречается и менее вероятная версия: от глагола «завекать» — в некоторых диалектах «закрывать, заслонять», что могло стать прозвищем для человека с тяжёлым взглядом или для сторожа. Но первое объяснение — через прозвище по жизненной ситуации — выглядит правдоподобнее, потому что такие «судьбоносные» прозвища на Руси давали часто.

Фамилия редкая, в современных справочниках и телефонных книгах встречается преимущественно в Поволжье и на Урале. В XIX веке носители могли быть как крестьянами, так и мещанами — фамилия не указывает на дворянское происхождение, так как не имеет типичных «-ский» или «-ов» в дворянском контексте. Сравнить её можно с однокоренными Завеков, Завековский, а также с фамилиями, образованными от прозвищ с корнем «век»: Векошкин, Веков, Долговеков. В отличие от них, Завекин сохранил приставку «за-», что усиливает оттенок завершённости действия или состояния.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, в основе лежала живая, бытовая характеристика человека — не внешняя, а по его жизненному пути. Такие фамилии ценны тем, что несут в себе отпечаток народной психологии и отношения к судьбе.