Фамилия Завлитшина — редкий случай в русском ономастиконе. Её основа не крестьянское прозвище, не имя и не ремесло, а должность, причём появившаяся в языке не раньше XX века. Речь о слове «завлит» — сокращении от «заведующий литературной частью». Так называли сотрудника театра, киностудии или издательства, отвечавшего за репертуар, сценарии и работу с авторами. Должность возникла в советское время, когда аббревиатуры стали массово проникать в быт. Соответственно, и фамилия Завлитшина — искусственная, «советская», образованная по продуктивной модели на -ин/-ын от названия должности.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Завлитшин — буквально «сын (или потомок) завлита». Форма Завлитшина — женский вариант той же фамилии. Такие фамилии от аббревиатур встречаются, но нечасто: например, Райкомов, Гороно (от городского отдела народного образования) или Минфинов. Однако Завлитшина стоит особняком: в отличие от фамилий от советских реалий вроде Октябрьский или Коммунаров, она привязана не к идеологии, а к конкретной театрально-издательской профессии.

Поскольку фамилия молодая, её география узка. Скорее всего, она возникла в среде городской интеллигенции — в Москве, Ленинграде или крупных культурных центрах, где существовали театры и редакции. Носители могли получить её при смене паспорта в 1920–1930-е годы, когда многие брали фамилии по профессии или месту работы. Возможно, предок-завлит сам выбрал такую фамилию для себя или детей, что было распространённой практикой в первые десятилетия советской власти.

С точки зрения словообразования фамилия необычна ещё и тем, что в её основе — аббревиатура, а не полное словосочетание. В русском языке усечённые основы редко становятся базой для фамилий на -ин: обычно так образуют фамилии от имён (Иван → Иванов) или прозвищ (Кузьма → Кузьмин). Здесь же — от сокращения, которое само по себе звучит как слово. Это делает Завлитшину ярким примером антропонимического эксперимента XX века, когда язык адаптировал новые реалии под старые модели.

Если вы встретили эту фамилию, то с высокой вероятностью её носитель — потомок театрального или литературного работника, жившего в советское время. Других версий происхождения, вроде связи с диалектным словом или иноязычным корнем, у фамилии нет — она целиком продукт эпохи аббревиатур и профессиональных прозвищ.