Фамилия Завлий — редкая и неочевидная по происхождению. Её не встретишь в списках частых русских фамилий, и это подсказывает, что корень здесь, скорее всего, не в прозвище от глагола «завить» или «завалить», а в чём-то более конкретном и локальном.

Словообразовательная модель указывает на суффикс -ий. В русских фамилиях такой суффикс встречается в двух вариантах: либо это украинская или белорусская форма притяжательного прилагательного (как в фамилиях Ткач → Ткачий, Пан → Паний), либо это застывшая форма краткого прилагательного, образованного от прозвища. В случае Завлий скорее работает первая модель: фамилия могла возникнуть на западнорусских землях как форма от прозвища или имени Завло, Завлий. Но есть и другая, более вероятная версия.

Самое правдоподобное объяснение — связь с глаголом «завить» в значении «свить, скрутить, заплести». Прозвище Завлий могли дать человеку с характерной прической (например, с длинными вьющимися волосами или с особой манерой заплетать бороду), либо мастеру, который занимался витьем веревок, плетением лаптей или корзин. В говорах «завлий» могло означать «завитой, кудрявый» или даже «упрямый» (как туго скрученный узел). Таким образом, фамилия — прямое указание на внешность или ремесло предка.

Географически фамилия Завлий встречается в основном в украинских и южнорусских областях, особенно в Черкасской, Полтавской и соседних с ними регионах России. Это подтверждает версию о происхождении от живого прозвища, а не от крестильного имени. В русских святцах имени «Завлий» нет, так что это точно не церковное имя.

Интересная деталь: фамилия Завлий стоит в ряду однокоренных, но редких фамилий вроде Завитий, Завитой, Завилов. Отличие в суффиксе — именно -ий указывает на то, что предок был не просто «завитым», а, возможно, носил прозвище, которое закрепилось за ним как постоянное, в форме краткого прилагательного. В документах XVII–XVIII веков можно было встретить запись «Ивашка Завлий» — то есть прозвище выступало как второе имя, без отчества. Позже оно перешло в фамилию.

Если ваши предки носили фамилию Завлий, скорее всего, они происходили из среды крестьян или ремесленников, живших на территории современной Украины или юга России. Фамилия не дворянская, не книжная — она выросла из бытового, живого слова.