Фамилия Завуров — редкий случай в русском ономастиконе. Если не вглядеться, её можно принять за типичную патронимическую фамилию на -ов, образованную от имени или прозвища Завур. Но загвоздка в том, что ни в славянских святцах, ни в древнерусском именослове имени Завур нет. Нет его и в списках прозвищ, которые давали по внешности или характеру. Поэтому первая и самая очевидная догадка — фамилия тюркского происхождения.

В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, азербайджанском) имя Завур — адаптация арабского Зафар (Zafar), что значит «победа», «победитель». В устной речи конечный «р» мог переходить в «р» твёрдый, а в русской записи — закрепляться как Завур. Суффикс -ов в этом случае не славянский «притяжательный», а стандартный русификатор: так в XIX–XX веках оформляли фамилии выходцев из мусульманских регионов Российской империи, особенно в Поволжье, на Урале и в Закавказье. Следовательно, предок носителя фамилии Завуров мог быть татарином, башкиром или азербайджанцем, которого в документы записали по отцу: «Завуров сын» — то есть сын Завура (Зафара).

Есть, однако, и более прозаическая версия, которую стоит упомянуть ради полноты. В некоторых говорах русского севера слово «завур» фиксировали как искажённое «завор» — забор, изгородь, либо как прозвище нерасторопного человека (от «заворо́чать» — замешкаться). Но эта гипотеза слабая: у неё нет массового распространения, и ни один серьёзный словарь русских фамилий (ни Унбегаун, ни Никонов) её не подтверждает. Скорее всего, это случайное созвучие.

География фамилии Завуров сегодня размыта: она встречается и у русских, и у татар, и у народов Кавказа. Но если судить по концентрации, ядро — Татарстан и соседние области. В дореволюционных метрических книгах Завуровы чаще всего записаны как государственные крестьяне или мещане, то есть люди податных сословий, без дворянского статуса. Никаких громких исторических личностей с этой фамилией не известно, что для массовой фамилии нормально: она не выбивается из ряда тысяч других, образованных от личных имён по простой модели «имя + -ов». Ценность её именно в том, что она хранит память о забытом сегодня имени Зафар, которое когда-то давали мальчикам с пожеланием победы.