Фамилия Завзин — редкий случай, когда в основе лежит не русское, а украинское или польское слово. Её образовали от прозвища Завзя по модели с суффиксом -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — Завзин, то есть сын или потомок Завзи. Само прозвище Завзя, скорее всего, восходит к украинскому прилагательному «завзятий» — «рьяный», «упорный», «запальчивый». В польском языке есть омоним zawzięty, но с более жёстким оттенком: «ожесточённый», «непримиримый». Оба значения хорошо ложатся на характер человека: так могли прозвать деятельного, настойчивого, даже слишком горячего в делах человека.

Есть и другая версия, хотя она менее убедительна. Некоторые исследователи связывают прозвище Завзя с болгарским глаголом «завзема» — «завладеть», «захватить в бою». Если принять эту гипотезу, Завзей могли назвать воина, который отличился в сражении и захватил трофеи или территорию. Но здесь слабое место — фонетика: болгарский глагол дал бы скорее форму Завзем или Завзём, а не Завзя. Поэтому украинско-польское происхождение выглядит правдоподобнее.

Фамилия Завзин — один из памятников славянской письменности, где в одной основе сошлись три языка. О точном месте и времени её появления сейчас сказать сложно: процесс формирования фамилий у восточных славян растянулся на несколько веков, с XV по XVII. Но прозвищная модель — «от черты характера» — одна из самых древних и распространённых, и Завзины здесь не исключение.