Основой фамилии Заюк послужило мирское имя Зай. Именование Зай может представлять собой уменьшительную форму мирского имени Заяц. Давая младенцу такое имя, как Зай, родители хотели, чтобы природа воспринимала ребенка как своего, чтобы к нему перешли те полезные качества, которыми наделено это животное. Кроме того, Заем могли называть горячо любимого ребенка, поскольку слова «заяц», «зая», «заюшка» нередко используются как ласковые обращения. По другой версии фамилия Заюк образована от аналогичного прозвища, которое происходит от названия татарской реки Зай (название переводится как «река»). Следовательно, родоначальник Заюк мог некогда жить на берегу этой реки. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Зай, со временем получил фамилию Заюк.