Фамилия Заюков — это отчество второго порядка, то есть «сын Заюка и внук Зая». В основе лежит мирское имя или прозвище Зай, которое чаще всего связывают с названием животного — зайца. Родители могли дать ребенку имя Зай, веря, что природа примет его как своего, а вместе с именем к нему перейдут и полезные качества зверька — ловкость, быстрота или плодовитость. Кроме того, слова «зая», «заюшка» издавна служили ласковыми обращениями, поэтому Заем могли называть горячо любимого, желанного ребенка.

Суффикс -юк- в фамилии Заюков — важная деталь, которая указывает на украинское происхождение первоначальной формы. На Украине и в южнорусских землях отчества с суффиксом -юк (Заюк) были распространены, а при дальнейшей русификации к ним добавляли типичный русский суффикс -ов. Так из Заюка получился Заюков — «внук Зая».

Существует и другая, менее очевидная версия, которая связывает прозвище Заюк не с животным, а с географическим названием. В Татарстане протекает река Зай (в переводе с татарского — просто «река»). Если родоначальник фамилии жил на берегу этой реки, его могли прозвать Заюком — «живущим на Зае». Правда, эта версия уступает первой по распространенности: фамилии от названий рек чаще образуются через суффикс -ский (Заинский), а не через уменьшительный -юк.

Таким образом, фамилия Заюков прошла путь от ласкового прозвища или имени Зай через украинскую форму Заюк к привычной русской фамилии на -ов.