Фамилия Заюковы — это отчество второго порядка, то есть фамилия внука. Сначала было личное или мирское имя Зай. Сына Зая называли Заюк (суффикс -юк- здесь указывает на уменьшительность или, что вероятнее, на украинское происхождение основы). А уже потомка Заюка, то есть внука, стали звать Заюков. Так работает цепочка: Зай → Заюк → Заюков.

Корень здесь, скорее всего, не татарский, а славянский. Имя Зай — это усеченная и ласковая форма от мирского имени Заяц. В древнерусской традиции такие «животные» имена давали не в обиду, а как оберег. Считалось, что если назвать ребенка Зайцем (или просто Заем), то злые силы не обратят на него внимания, а сам он перенимает у зверя плодовитость, быстроту и ловкость. Кроме того, «зая», «заюшка» — это исконные ласковые обращения к детям, так что имя могло быть чисто домашним, без всякой магии.

Менее распространенная версия отсылает к реке Зай в Татарстане. Если принять её, то прозвище Зай получал человек, живший на берегу этой реки. Но в этом случае появление украинского суффикса -юк- объяснить сложнее: фамилии на -юк характерны для западнорусских земель, а не для Поволжья. Поэтому связь с рекой выглядит менее убедительной, хотя совсем исключать её нельзя.

Фамилия Заюковы встречается в документах с XVII века, в основном в южнорусских и украинских регионах. Суффикс -юк- в основе (Заюк) прямо указывает на то, что первоначально фамилия закрепилась на территории современной Украины или в прилегающих к ней черноземных губерниях России. Позже, с переселениями, она распространилась шире.