Фамилия Заюкова — это отчество второго порядка, то есть «внучья» форма. Она означает «дочь (или жена) Заюка», где Заюк — это сын человека по имени Зай. Суффикс -юк- здесь ключевой: именно он указывает на украинское или южнорусское происхождение фамилии. На севере и в центре России такую же фамилию образовали бы с суффиксом -ов- (Заев), а на западе — с -енко- (Заенко). Поэтому Заюковы — это потомки не просто Зая, а именно Заюка, что сужает географию до украинских земель или южных областей России.

Спор начинается с основы — имени или прозвища Зай. Самая очевидная версия: Зай — это уменьшительная форма от мирского имени Заяц. В дохристианской Руси такие «звериные» имена давали не для красоты, а с практической целью. Считалось, что если назвать ребёнка Зайцем, то природа примет его за своего, и злые силы не тронут. Кроме того, «зая», «заюшка» веками использовались как ласковые обращения к детям, так что Заем могли назвать горячо любимого, желанного малыша.

Есть и другая, менее распространённая гипотеза. Слово «Зай» может быть связано с названием реки Зай в Татарстане (гидроним переводится как просто «река»). В таком случае прозвище Зай получил человек, живший на берегу этой реки. Версия правдоподобна для тех регионов, где русское население соседствовало с татарским, но она менее вероятна, чем «звериная»: суффикс -юк- больше характерен для украинской ономастики, а река Зай протекает далеко на востоке.

Итог простой: фамилия Заюкова говорит о том, что ваш предок по мужской линии носил имя или прозвище Зай. Чаще всего это ласковое или обережное имя, данное в честь зайца. А суффикс -юк- выдаёт южное, скорее всего украинское, происхождение рода.