Фамилия Заывый — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное звучание. Если произнести её вслух, сразу слышится основа «зай» — то есть корень, родственный слову «заяц». В русских говорах «зай» нередко превращалось в «зайка», «заюшка», а прозвище Зай, Заяц или Зайка давали человеку проворному, пугливому, либо, напротив, тому, кто отличался длинными зубами или любил огородничать, то есть «заячью» натуру. Однако здесь форма не «Зайцев» и не «Зайкин», а «Заывый» — с суффиксом -ыв-, который в русской антропонимии встречается редко.

Суффикс -ыв- (или его вариант -ив-) в фамилиях обычно указывает на притяжательность или свойство: «Заывый» буквально значит «принадлежащий Заю», «Заев». Но в отличие от привычного «Заев» (где суффикс -ев-), форма с -ыв- могла возникнуть под влиянием местных говоров или диалектного произношения. В северных и сибирских говорах, например, встречаются фамилии на -ыв: Корывый, Блудывый, где -ыв- выступает как вариант суффикса прилагательного. Таким образом, Заывый — это не опечатка и не искажение, а диалектная модель, закрепившаяся в паспорте.

Географически фамилия крайне редкая. По данным современных телефонных справочников и баз переписи, Заывые встречаются точечно — в основном на Урале и в Западной Сибири. Это подтверждает гипотезу о диалектном происхождении: именно в этих регионах в XVII–XVIII веках активно селились переселенцы с русского Севера, где говоры сохраняли архаичные словообразовательные черты. Предок Заывый мог получить прозвище Зай или Заяц, а его потомки закрепили за собой форму, которая в центральных губерниях звучала бы иначе.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Заывый стоит особняком. «Заев» встречается часто, «Зайкин» — реже, а «Заывый» — почти уникален. В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна) модель на -ыв не выделяется как продуктивная, но в русской антропонимии известны единичные случаи: Бугрывый, Долгывый. Вероятно, это остатки древнего притяжательного суффикса -ывъ, который позже вытеснился -ов/-ев. Поэтому фамилия Заывый — живое свидетельство того, как диалект и случайность письменной фиксации могут сохранить редкую языковую черту.