Фамилию Зайвий правильнее всего рассматривать как украинскую или западнорусскую по происхождению, с прозрачной, но неочевидной с первого взгляда внутренней формой. В основе лежит украинское прилагательное «зайвий» — лишний, ненужный, избыточный. В русском литературном языке такого слова нет, но в юго-западных говорах оно бытовало, и именно оттуда пошла фамилия.

Как могло появиться прозвище Лишний? Самая вероятная версия — так называли позднего, нежданного ребёнка, родившегося, когда в семье уже было достаточно детей. «Зайва дитина» — лишний рот, но не в обидном, а скорее в бытовом смысле. В крестьянской среде, где каждый работник был на счету, такое прозвище могло закрепиться за младшим сыном или за ребёнком, родившимся после долгого перерыва. Менее распространённый вариант — прозвище давали человеку, который часто оказывался «лишним» в компании, третьим лишним в каком-то деле, либо, наоборот, был настолько деятельным, что его присутствие казалось избыточным.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ий (в украинской традиции) превратил прилагательное в фамилию, отвечающую на вопрос «чей?» или «какой?». Фамилия осталась без патронимического суффикса -ов/-ев, что типично для украинской ономастики. В польском языке есть аналогичная фамилия Zbędny (от zbędny — лишний), что подтверждает общую славянскую модель именования по качеству или положению в семье.

Встречается фамилия в основном на западе Украины — в Волынской, Ровенской, Львовской областях, а также в южных регионах России, куда переселялись украинцы. Встречаются варианты написания: Зайвый, Заевый, но «Зайвий» — исходная форма. Фамилия редкая, не относится к частотным, что косвенно подтверждает её прозвищное происхождение: не каждую семью называли «лишними», только ту, где был повод.