Фамилия Заивой — редкий пример прозвища, которое застыло в именительном падеже, минуя стандартные суффиксы -ов, -ев или -ин. Такая модель (прозвище = фамилия) характерна для украинских, белорусских и южнорусских земель, где нередко обходились без патронимического оформления.

Разбираем основу. В «Толковом словаре живого великорусского языка» В. Даля слово «заивый» трактуется как «свободный, незанятой». Скорее всего, прозвище Заивой давали независимому, самостоятельному человеку — тому, кто не был ничьим крепостным или не подчинялся общине. Дальше — уже не догадка, а бытовой контекст: в крестьянской среде «заивым» могли назвать и неженатого мужчину, холостяка, который «не занят» семьей. Эта версия выглядит правдоподобно, потому что прозвища часто отражали семейное положение (ср. Холостяк, Бобыль).

Есть и второй, более прозаичный вариант: фамилия могла возникнуть из словосочетания «за ивой». В старину природные объекты — деревья, реки, овраги — служили главными ориентирами. Человека, жившего за ивой (заметным деревом у дороги или у воды), так и кликали: Заивой. Однако эта гипотеза слабее: слово «ива» в русских говорах обычно не даёт форму «заивой» (скорее «заивный» или «заивский»), а сама конструкция «за + существительное» редко превращается в прозвище без суффикса.

Что важно: фамилия Заивой не встречается в боярских или дворянских родословных. Её носители — скорее всего, крестьяне или однодворцы из южных губерний (Курская, Воронежская, Тамбовская). В современных справочниках она редкая, что подтверждает её локальное происхождение: прозвище не разошлось широко, а закрепилось в одном-двух сёлах.