Фамилию Здобицкий стоит разбирать не с корня, а с суффиксальной модели. Суффикс -ицк- (в прилагательном -ицкий) указывает на топонимическое происхождение: такую фамилию получал человек, владевший или живший в населённом пункте с названием Здобица, Здобицы или Здобичи. Это типичная модель для польской и западнорусской шляхты: отсюда же Островский, Заболоцкий, Смолицкий. В украинской и белорусской традиции -ицкий тоже встречается, но реже, чем -ський.

Корень «здоб-» прозрачен: древнерусское и диалектное «здоба» — сдоба, сдобное тесто, выпечка. Но в прозвищах и названиях поселений это слово могло означать не только хлеб. В северо-западных говорах «здобиться» — стараться, хлопотать, добиваться. Человека могли прозвать Здоба за хозяйственность, зажиточность или за любовь к сдобной еде. Соответственно, Здобицкий — потомок того, кто жил в селе, названном по такому прозвищу первого поселенца.

География фамилии подсказывает, где искать корни. Здобицкие встречаются в основном на западе современной России, в Беларуси и на востоке Польши. В реестрах Речи Посполитой XVI–XVII веков есть упоминания шляхтичей с похожей фамилией (Здобинский, Здобский) в окрестностях Минска и Гродно. Фамилия Здобицкий — не массовая, а значит, скорее всего, происходит из одного компактного гнезда, которое со временем разошлось по разным губерниям.

Есть и более редкая, но правдоподобная версия: связь с литовским «zdobti» — украшать, наряжать. В пограничных землях, где смешивались славянские и балтские языки, прозвище Здоба могло означать щёголя или ремесленника, занимавшегося отделкой. Однако славянская этимология проще и надёжнее.

Сословно фамилия чаще всего указывает на мелкопоместную шляхту или однодворцев — людей, которые числились дворянами, но не имели крепостных и сами пахали землю. В XIX веке многие Здобицкие записаны в мещанских и крестьянских ревизских сказках Могилёвской и Витебской губерний. Это не противоречит «шляхетскому» суффиксу: к тому времени фамилия уже стала наследственной и перешла к разным слоям населения.

Итог: Здобицкий — фамилия по названию места жительства, образованная от прозвища Здоба (сдобный, зажиточный, хлопотливый человек). Носители — выходцы из западных земель, скорее всего, мелкие дворяне или свободные крестьяне.