Фамилия Здвижков — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант более распространённой фамилии Сдвижков. В русском языке приставка с- перед звонким согласным д в живой речи могла озвончаться до з-, что и закрепилось на письме. Поэтому корень у обеих фамилий один — от глагола «двигать».

Прозвище Сдвижок, от которого всё пошло, могло возникнуть в двух разных контекстах. Первый — профессиональный: «сдвижком» на производстве или стройке могли прозвать того, кто занимался перемещением грузов, перетаскиванием тяжестей, работой с рычагами. Второй — характеристический: так могли назвать человека подвижного, деятельного, энергичного, который постоянно «сдвигал дело с места». Обе версии логичны и не противоречат друг другу — прозвище легко совмещало и род занятий, и свойство характера.

Есть и менее очевидная, но допустимая гипотеза — топонимическая. На Украине, в Житомирской области, существует село Здвижка. Если предок носителя фамилии был оттуда родом, то прозвище «Здвижков» могло означать «выходец из Здвижки». Однако эта версия спорна: для образования фамилии от названия села чаще использовали суффикс -ский (Здвижский), а не -ов. Поэтому версия с прозвищем от глагола выглядит убедительнее.

Фамилия Здвижков — редкий случай, когда написание через «з» не меняет смысла, а лишь отражает живую произносительную норму. С точки зрения словообразования, суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Сдвижка» или «из семьи Сдвижковых».