Фамилия Згодзинская — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной расшифровке с первого взгляда. Перед нами типичная «географическая» модель на -ский/-цкий, которая в польской и западнорусской традиции указывала на связь с местностью. Но вот с чем именно — вопрос.

Самое правдоподобное объяснение лежит в топонимике. Фамилия могла образоваться от названия населённого пункта вроде Згодзино, Згодзице или Згодза. Такие названия встречаются в Польше и на западе Беларуси. Корень «згод-» в польском языке означает «согласие, лад» (zgoda). То есть Згодзинский (а Згодзинская — женская форма) — это «тот, кто родом из места Согласия». Нередко фамилии на -ский давали шляхте или духовенству, но в XIX веке их массово получали и крестьяне при переходе на фамилии по названию деревни.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — от прозвища Згода (человек мирный, сговорчивый). В таком случае суффикс -инский мог присоединиться позже, по польскому образцу, но это скорее исключение: прозвищные фамилии обычно образуются через -ов/-ев или -ин, а не через -ский.

Обратите внимание на написание: «Згодзинская» с буквой «з» в начале, а не «Сгодзинская». Это указывает на то, что в исходном слове был звонкий согласный, и фамилия точно не связана с глаголом «сходить» или «сгодный». В документах XIX — начала XX века фамилия встречается преимущественно среди католического населения Виленской, Гродненской и Минской губерний — то есть на территориях, где польский язык и топонимика были сильны. Если ваши предки оттуда, то корни, скорее всего, именно польские или западно-белорусские.