Фамилия Живновицкий — редкий случай, когда географический корень почти наверняка перевешивает прозвищный. Основа здесь — не «живность» и не «жизнь», как может показаться на первый взгляд, а топоним. Фамилия образована по продуктивной модели на -ский (изначально указывавшей на владельческое или географическое происхождение) от названия населённого пункта вроде Живновицы, Живновичи или Живново. Такие названия встречаются в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Беларуси, Украины или восточной Польши. Суффикс -ицк- в составе фамилии (Живн-ов-ицк-ий) типичен для польской и западнорусской ономастики: он присоединялся к названиям с окончанием -ицы (ср. Белицкий от Белицы, Глиницкий от Глиницы).

Что касается самого корня Живн-, он восходит к древнему славянскому личному имени или прозвищу Живн, Живан, Живко — от слова «живой». В дохристианскую эпоху такие имена давали как оберег: чтобы ребёнок рос здоровым, крепким, «живучим». Со временем прозвище Живн закрепилось за основателем рода или владельцем села, а деревня стала называться Живновичи — «люди Живна». Таким образом, Живновицкий — это «тот, кто родом из Живновиц» или «потомок человека по прозвищу Живн».

В отличие от фамилий на -ов или -ин, которые в России чаще носили крестьяне и мещане, фамилии на -ский в XVII–XIX веках были распространены среди шляхты (мелкопоместного дворянства) и духовенства. Живновицкий мог принадлежать к обедневшему шляхетскому роду, который взял фамилию по своему имению, либо к священнической династии — в семинариях часто давали фамилии по названию родного села. Вариант написания с -цкий (а не с -ский) встречается в польской и украинской традиции, но в русском языке закрепилась форма на -цкий как более привычная.

Однокоренные фамилии — Живов, Живанов, Живко, Живкович — встречаются чаще и проще по морфологии, но Живновицкий сохраняет более сложную, «географическую» структуру. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в Могилёвской, Гродненской губерниях или на Волыни — именно там топонимы с основой «Живн-» наиболее вероятны.