Фамилия Жукои — редкий случай, когда сразу бросается в глаза необычное окончание. В русской фамильной системе суффикс -ой встречается гораздо реже, чем привычные -ов, -ин или -ский. Обычно он указывает на прилагательное в мужском роде, которое закрепилось за человеком в качестве прозвища ещё в дописьменную эпоху. Так что носитель фамилии Жукои — это, по сути, «тот, кто является Жуким».

Что могло лежать в основе прозвища Жукой? Самая прямая версия — связь с насекомым «жук». В говорах слово «жук» имело и переносные значения: так могли называть хитрого, пронырливого человека, а иногда — чернявого или смуглого. Но фамилия образована не от существительного «жук», а от прилагательного «жукой» — то есть «жуковатый», «похожий на жука». Такая модель словообразования (основа + -ой) типична для старых русских прозвищ: сравните с фамилиями Толстой, Косой, Хромой. Человек получал прозвище по яркому внешнему или поведенческому признаку, и это прозвище со временем застывало в фамилии.

География фамилии Жукои, судя по доступным данным, неширокая. В основном она встречается на юге России и в некоторых областях Украины — в регионах, где были сильны говоры с характерным окончанием -ой (в отличие от северного -ый). Если ваш предок носил такую фамилию, он почти наверняка происходил из крестьянской или казачьей среды, где прозвища давали метко и без затей.

В ономастических словарях фамилия Жукои отдельно не разбирается, но её механизм полностью совпадает с моделью, описанной Б. Унбегауном для фамилий на -ой. Спорных версий здесь немного: попытки связать её с географическим названием (например, с рекой Жукой) маловероятны, так как топонимов с таким корнем в России почти нет. Таким образом, единственное и самое правдоподобное объяснение — прозвище, данное за сходство с жуком или за «жуковатый» характер.