Фамилия Зивакина — женская форма фамилии Зивакин, и её происхождение стоит искать в прозвище или профессиональном имени далёкого предка. Основа здесь — слово «зивака», которое в русских говорах имело два основных значения. В центральных и южных областях России «зивакой» называли зеваку, ротозея, праздного зрителя — человека, который любит глазеть по сторонам, разинув рот. В этом случае фамилия образована по типичной модели: прозвище + суффикс -ин, указывающий на принадлежность (чей? — Зивакин, то есть сын Зиваки). Суффикс -ин характерен для фамилий, образованных от основ на -а, -я.

Однако есть и вторая, более редкая версия, связанная с диалектным глаголом «зивать» — зевать, кричать, громко плакать. В некоторых регионах так могли прозвать капризного ребёнка или крикливого человека. Менее вероятно, но не исключено, что в основе лежит тюркское или иранское имя Зива (в переводе «красивый», «блестящий»), к которому добавился русский суффикс. Эта гипотеза слабее: фамилия Зивакина почти не встречается в Поволжье и на Кавказе, где такие заимствования были бы естественны, зато фиксируется в центральных областях России, что говорит о славянской, а не восточной основе.

География фамилии узкая: судя по данным открытых источников и телефонным справочникам, основные носители сосредоточены в Нижегородской области и соседних регионах. Это позволяет предположить, что фамилия возникла в среде крестьян или посадских людей — в дворянских родословных книгах она не значится. Словообразовательная модель проста и прозрачна: от прозвища на -а через суффикс -ин, без дополнительных наращений вроде -ский, что типично для фамилий, сложившихся в XVI–XVII веках в среде непривилегированных сословий. Интересная деталь: в некоторых переписях XIX века встречается вариант написания «Зиваков», где вместо -ин стоит -ов — это могло произойти из-за того, что писарь воспринял основу как мужскую (Зивак), а не как женскую (Зивака). Так что ваш предок с равной вероятностью мог быть и Зивакиным, и Зиваковым — это одна и та же фамилия в разных записях.