Фамилия Звагольская — редкая и территориально привязанная, почти наверняка польского или западнорусского происхождения. Её основа, суффикс и ареал бытования указывают на то, что перед нами не случайное прозвище, а фамилия, образованная от названия места.

Ключевой элемент — суффикс -ск- и окончание -ая. В польской традиции фамилии на -ski/-ska (Звагольска) указывали на принадлежность к шляхетскому роду или на владение землёй, поместьем. В русской среде этот суффикс часто получали семьи духовенства, а также выходцы из западных губерний, где фамилии на -ский были массовыми. Форма Звагольская — женский вариант, мужской, соответственно, Звагольский.

Корень Звагол- — самый тёмный и интересный. В русском языке слова «зваголь» нет. Вероятнее всего, это искажённое или адаптированное название населённого пункта. Можно предположить несколько версий:

1. Польский след. В польском языке есть слово «zwęglić» — обуглить, превратить в уголь. Фамилия могла возникнуть в местности, связанной с выжигом угля или сожжённым лесом. Однако фонетически «зваголь» ближе к диалектному «зваг» (ссора, шум) или к литовскому «žvaginė» (место, где пасут свиней). Наиболее правдоподобно, что это топоним, например, село Зваголе (Zwagole) в исторической Литве или на территории современной Беларуси.

2. Версия от прозвища. Если отбросить географию, можно допустить, что прозвище «Зваголь» дали человеку сварливому, склочному (от диалектного «звага» — ссора, распря). Но в таком случае фамилия была бы Зваголин или Зваголев, а не Звагольский. Суффикс -ский прочно привязывает фамилию к месту, а не к личному качеству.

Таким образом, предок носительницы фамилии Звагольская с высокой вероятностью был либо мелким шляхтичем, владевшим хутором или деревенькой Зваголе (или Зваголь), либо священником, получившим фамилию по названию прихода. Географически фамилия тяготеет к Гродненской, Виленской или Минской губерниям — регионам, где польская ономастика смешивалась с белорусской и литовской. После разделов Речи Посполитой многие носители таких фамилий переселялись вглубь Российской империи, что объясняет её появление в современной России.