Фамилия Зябченкова — женская форма от Зябченков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Зябко, Зябкий. Основа здесь — глагол «зябнуть», то есть мёрзнуть, коченеть от холода. В старину «зябким» называли человека, который постоянно мёрз, был зябким, чувствительным к холоду, или же, в переносном смысле, — робкого, «холодного» по характеру, необщительного. В северных и центральных говорах слово «зяблый» означало ещё и «побитый морозом» (о растениях), но применительно к человеку такое прозвище вряд ли бытовало.

Словообразовательная модель проста и типична для русских фамилий: сначала от прозвища Зябко (или Зябкий) возникла форма притяжательного прилагательного Зябченков — «сын Зябка». Суффикс -енков (вместо более частого -ов) указывает на происхождение из южнорусских или западнорусских регионов, где -енковы, -онковы встречаются чаще, чем в центре. В окончательном виде фамилия закрепилась в женском варианте с суффиксом -а.

Географически фамилия Зябченков наиболее плотно представлена в Курской, Белгородской и Воронежской областях, а также на востоке Украины (Харьковщина, Сумщина). Это подтверждает южнорусский след суффикса. Встречаются и однокоренные фамилии: Зяблов, Зябликов, Зябкин, Зябрев — все они восходят к той же основе, но с разными суффиксами. Зябченков отличается именно уменьшительным оттенком: Зябко — это не просто «зябкий человек», а скорее «маленький зябкий», что могло быть детским или семейным прозвищем.

Сословная принадлежность носителей фамилии в основном крестьянская. В ревизских сказках и метрических книгах XIX века Зябченковы записаны как государственные или помещичьи крестьяне, реже — однодворцы (особенно в Курской губернии). Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Таким образом, предки современной Зябченковой — это люди из сельской среды, получившие прозвище за свою особенность, скорее всего, за постоянное ощущение холода или за стеснительный нрав.