Фамилия Зягин образована по стандартной русской модели с суффиксом -ин, который в древности указывал на принадлежность: «чей?» — «Зягин», то есть сын или потомок Зяги. Основа фамилии — личное прозвище или неканоническое имя Зяга. В чём его происхождение — самый интересный вопрос.

Первая и наиболее вероятная версия связывает прозвище Зяга с глаголом «зябнуть», «зяблый» — то есть мёрзнущий, зябкий человек. В северных и центральных говорах слово «зяга» могло означать не просто чувствительного к холоду, но и худого, тщедушного, «зябкого» на вид. Прозвище давали либо человеку, который вечно кутался и мёрз, либо — что встречалось чаще — подчёркивали его внешнюю хилость, слабость. В ономастике есть параллели: фамилии Зябликов, Зяблов, Зябрев — все они восходят к тому же корню.

Вторая версия, менее распространённая, но допустимая: «зяга» в некоторых диалектах — это крик, шум, гам (ср. «зягать» — кричать, шуметь). Тогда прозвище могло достаться крикливому, беспокойному человеку. Однако эта гипотеза слабее: корень со значением «холод» более типичен для русских прозвищ и лучше объясняет словообразовательное гнездо.

Фамилия Зягин — редкая. Она не встречается в боярских списках или среди старинных дворянских родов, и это нормально: её носители, скорее всего, происходили из крестьянской или мещанской среды. Географически фамилия тяготеет к северо-западу России: единичные упоминания встречаются в старых переписях Новгородской и Вологодской губерний — как раз там, где зимы долгие, а слово «зяблый» было в ходу.

Обратите внимание на суффикс: -ин, а не -ов. Это указывает на то, что прозвище Зяга оканчивалось на -а, что характерно для прозвищной, а не патронимической основы (в отличие от, скажем, Зяброва). Похожая модель — фамилии Мягин (от мяга — мягкий человек) или Рягин (от ряга — неряха). Все они звучат по-народному лаконично и невычурно.