Фамилия Абужаков сразу обращает на себя внимание нетипичным для русских фамилий началом «Абу-». Это указывает на восточное, скорее всего тюркское или арабское происхождение, адаптированное русским суффиксом -ов. Разберем её по частям.

Основа «Абужа» или «Абу-жа» восходит к арабскому имени Абу (отец, обладатель) и, вероятно, второй части, которая могла звучать как «Жа» или «Джа» — сокращение от имени Джафар, Жан или другого. В тюркских языках (особенно карачаево-балкарском, кумыкском, ногайском) распространена модель образования фамилий от личных имён с приставкой «Абу-», означающей «отец такого-то» или «обладатель чего-то». Например, Абубакир (отец Бакира), Абужа — могло быть формой имени Абу-Джафар или Абу-Жан («отец души» в переносном смысле).

Русский суффикс -ов (а не -ин или -ский) говорит о том, что фамилия оформлялась в русской среде как типичная патронимическая (по отцу): Абужаков — сын Абужи. Это характерно для северокавказских народов, которые в XIX–XX веках получали фамилии по русской модели. Географически фамилия чаще всего встречается среди карачаевцев и балкарцев, реже — у кумыков и ногайцев. Встречается и в среде кавказских татар (азербайджанцев), но там более распространена форма Абужаев.

Интересная деталь: фамилия сохранила архаичную форму основы, где «ж» может быть результатом перехода тюркского «дж» (как в имени Джафар) в русское «ж» при записи. То есть предка могли звать Абуджа или Абу-Джа, а при паспортизации записали как Абужа. Вариант с ударением — обычно на последний слог: Абужако́в, хотя в бытовой речи встречается и на второй слог.

Социально фамилия не несёт следов дворянского или княжеского титула — это обычная патронимическая фамилия, образованная от личного имени. Если ваш предок был Абужа, то он, скорее всего, был уважаемым человеком в своей среде, раз его имя легло в основу фамилии рода.