Фамилия Абжаков — редкий случай, где географический ключ важнее лингвистического. Её основа, имя Абжак, почти не встречается за пределами узкого ареала, а значит, искать предков стоит не в общерусском контексте, а в конкретном регионе. Чтобы понять, кто вы по корням, достаточно разобрать всего два элемента: тюркское имя Абжак и русский патронимический суффикс -ов. Суффикс выдаёт время формирования фамилии — конец XVIII–XIX век, когда крестьянам и инородцам массово присваивали фамилии по отцу в русской административной среде.

Сам Абжак — это, скорее всего, местное произношение арабского имени Абдул-Азиз (раб Могущественного), где «абд» (раб) и «азиз» (могущественный) слились и упростились. Встречается и версия от имени Абзак, что в ряде тюркских наречий значит «белый» или «чистый», но связь с «абд» надёжнее: такие теофорные имена (содержащие имя Бога) были массовыми у мусульманских народов, а значит, предок Абжаковых был мусульманином.

Главная особенность фамилии — её региональная привязка. Подавляющее большинство носителей — из Башкортостана и прилегающих областей (Оренбургская, Челябинская). Это не случайно: в башкирской среде имя Абжак было распространено, и фамилия на -ов закрепилась в период учёта башкирского населения. В отличие от многих русских фамилий, которые могут быть как крестьянскими, так и дворянскими, Абжаков — почти стопроцентный маркер башкирского или татарского происхождения. Сословно предки, скорее всего, были тептярями или государственными крестьянами, реже — служилыми людьми.

В написании фамилия стабильна: Абжаков, а не Абжаковъ или Обжаков. Вариант через «о» (Обжаков) мог бы указывать на акающее произношение, но в тюркских языках гласные в начале слова обычно чёткие, поэтому форма с «а» — исходная. Если ваш предок писался иначе, это, скорее всего, ошибка писаря.

Итог простой: Абжаков — это «сын Абжака», человека с арабским по происхождению именем, жившего в башкирских или татарских землях. Фамилия не древняя (XVIII–XIX века), но крепко привязана к Урало-Поволжью.