Фамилия Абянова — женская форма, построенная по стандартной русской модели: к мужской основе Абянов добавили суффикс -а, который в таких фамилиях указывает на принадлежность женщине (жена или дочь Абянова). Мужской вариант Абянов — типичная патронимическая фамилия, то есть образованная от имени или прозвища отца. Всё упирается в основу — Абян.

Корень здесь тюркский. В башкирском, татарском и других тюркских языках имя Абян (встречается и как Абиян) восходит к арабскому «аби» — «отец». В составных мусульманских именах эта часть часто означает «отец кого-то» или «обладатель», например, Абиян — «отец Яна» (Ян — душа, жизнь). Но Абян могло быть и самостоятельным уменьшительно-ласкательным именем, которое образовали от более длинных форм вроде Абдулла или Абубакир, отсекая начало. В любом случае, корень ведёт в тюрко-мусульманскую среду Поволжья и Приуралья.

География фамилии это подтверждает. Абяновы устойчиво встречаются в Башкортостане, Татарстане, а также в Оренбургской и Челябинской областях. Это регионы, где веками жили башкиры и татары, и где фамилии на -ов/-ев активно усваивались русской административной системой в XIX веке. Предки носительницы фамилии Абянова, скорее всего, были башкирами или татарами, а сама фамилия закрепилась за их потомками уже в русском варианте.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с диалектным словом. В некоторых русских говорах «абый» или «абя» означало старшего брата, дядю или уважаемого мужчину (слово тоже тюркского происхождения). Если прозвище Абян дали человеку, который был старшим в роду или пользовался авторитетом, фамилия могла возникнуть и в русской крестьянской среде, но это редкий случай.

Итог: Абянова — фамилия с ясной тюркской основой, скорее всего, восходящая к личному имени Абян. Её носительницы — потомки людей, живших на стыке культур, в зоне активного взаимодействия русского и тюркского миров.