Фамилия Адгишев — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Её основа не бросается в глаза, и первая реакция — искать в ней тюркские или арабские следы. И это верное направление.

Скорее всего, фамилия образована от прозвища или имени Адгиш. Суффикс -ев указывает на русскую патронимическую модель: «чей?» — Адгишев, то есть потомок Адгиша. Само имя Адгиш, вероятно, восходит к тюркскому «адгыш» — «добрый», «хороший», «благой». В этом случае фамилия несла пожелательную характеристику: предка могли назвать так в надежде на его добрый нрав или как ласковое прозвище.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с арабским корнем, где «адль» означает «справедливость», а «гиш» может быть искажённой формой личного имени. Однако в тюркской среде, особенно у народов Поволжья и Кавказа, форма «Адгыш» встречается чаще, чем арабские параллели.

Географически фамилия Адгишев встречается в основном среди татар и башкир, а также у народов Северного Кавказа, где тюркские имена смешивались с местными. Встречаемость крайне низкая: по открытым данным, носителей — несколько сотен человек по всей России. Это говорит о том, что фамилия не разошлась широко и сохранилась в пределах одного-двух родов.

С точки зрения словообразования интересно, что суффикс -ев, а не -ин, хотя основа заканчивается на шипящий. В русской традиции после шипящих в фамилиях от имён на -а/-я обычно ставят -ев (ср. Алёшин — от Алёша, но Адгишев — от Адгиш, где конечный согласный твёрдый, поэтому -ев). Это лишний раз подтверждает, что фамилия адаптирована русским языком из иноязычного источника.

Если ваш предок носил фамилию Адгишев, он, скорее всего, происходил из среды крещёных татар или мусульман, принявших православие, либо из кавказских народов, где тюркские имена были распространены. Никаких данных о дворянском происхождении или массовом распространении нет — это фамилия одного корня, не раздробленная на множество ветвей.