Фамилия Адининская — редкий пример, где географическая привязка оказывается едва ли не важнее, чем разбор корня. В её основе лежит не имя и не прозвище, а топоним: село, деревня или река с названием Адинино, Адининка или Адиня. Такие фамилии на -ский/-ская в русской традиции чаще всего получали дворяне по названию своего поместья или духовенство — по месту службы. В крестьянской среде фамилии на -ский встречались реже, но тоже бывали, особенно на западе и юге России.

Корень «Адин-» для русского уха звучит непривычно. Самая очевидная версия — это искажённое или диалектное произношение слова «один». В северных и сибирских говорах «адин» вместо «один» — нормальное явление. Тогда Адининская — это вариант фамилии Одининская, а предок мог получить прозвище Одинец (единственный сын, одинокий человек). Однако суффикс -ин- в середине слова (Адин-ин-ская) указывает на притяжательное значение: «принадлежащий Адине». То есть исходным было имя или прозвище Адиня — уменьшительное от Ада, Адриан или от того же «один» (Адиня как «одиночка»). Фамилия образовалась по модели: Адиня → Адинин (чей?) → Адининская (фамилия по названию владения).

Менее вероятно, но стоит упомянуть: в некоторых тюркских языках «адин» означает «чужой, иной». Если фамилия возникла на южных или восточных окраинах России, возможен контакт с тюркским прозвищем. Однако русский суффикс -ин- и типичная модель на -ский говорят в пользу славянской основы.

Носители фамилии Адининская сегодня встречаются крайне редко, в основном в центральных областях России. В дореволюционных метрических книгах фамилия почти не фиксируется — это либо поздняя искусственная фамилия (например, семинарская), либо запись, искажённая при переписи. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из небольшого села, название которого со временем исчезло с карт, или же его род получил фамилию от священника по месту служения.