Фамилия Адоева — женская форма, её основа та же, что у мужской Адоев. Сразу бросается в глаза редкий суффикс -ев при основе на гласную: обычно в таких случаях работает -ин (Иванов → Иванова, но Ильин → Ильина). Здесь же мы видим -ев, что указывает на нестандартную словообразовательную модель. Скорее всего, фамилия происходит не от имени или прозвища, заканчивающегося на -а, а от названия населённого пункта или реки.

Вероятнее всего, Адоев — это топонимическая фамилия, образованная от названия села или деревни Адоево (или Адоев). Такие названия встречаются в центральной России, например, в Тульской области есть село Адоевщина. Если предки жили в таком месте, их могли записать как «Адоев» по принципу «откуда родом». Суффикс -ев в этом случае работает как у фамилий с основой на -ев (Ростов → Ростовцев, но здесь основа на -оев, что редкость).

Есть и вторая версия — от прозвища Адой. В русских говорах «адой» или «адовый» могло означать что-то связанное с адом, мучительное или, наоборот, относиться к человеку с трудным, «адским» характером. Но эта гипотеза слабее: прозвище Адой почти не встречается в исторических документах, а фамилии от таких основ обычно давали бы форму Адов или Адовин. Топонимическое объяснение надёжнее.

Сословная принадлежность Адоевых не прослеживается по одной фамилии — это могла быть и крестьянская, и мещанская, и дворянская фамилия. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована, что косвенно говорит о её преимущественно крестьянском или однодворческом происхождении. Географически фамилия встречается в основном в центральных и южных регионах России, особенно в Тульской, Рязанской и Липецкой областях, что подтверждает связь с местными топонимами.

Сравните с однокоренными фамилиями: Адов, Адонин, Адошин. Адоева стоит особняком из-за суффиксальной структуры. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, их родословная тянется из небольшого села, название которого со временем стёрлось с карт, но осталось в фамилии.