Фамилия Аджигирей — составная, и её разумнее разбирать по частям, чем искать единую основу. Первая часть восходит к тюркскому мужскому имени Адже, которое означало «старший родственник, старший брат, дядя». Вторая часть — Гирей (встречается также в формах Герей, Гарай) — слово с богатой историей. Его толкуют и как «пристрастие, желание, стремление, достоинство», и как «сильный, могущественный». Но ключевая роль этого слова — эпитет-титул ханов крымской и казанской династий.

Родоначальником династии считают Хаджи-Гирей-хана, который в 1437 году основал в Крыму независимое от Золотой Орды владение и отразил генуэзцев, пытавшихся покорить крымских татар. Именно его имя стало образцом для сложносоставных фамилий и родовых имен в тюркской среде. Впрочем, существует и другая версия происхождения слова «Герей»: его возводят к этнониму «керей» — названию одного из шести племен, составляющих Среднюю орду казахов. Летописцы Рашид-ад-дин, Абулгази и Наджип Гасымбек настаивали, что «керей» означает «черный» (от турецкого «кара»), что связывает титул с цветовой символикой власти.

Таким образом, фамилия Аджигирей не просто склеила два имени, а вобрала в себя и семейный статус («старший родственник»), и высокий титул, отсылающий либо к ханской династии, либо к древнему племени. Носитель такой фамилии, скорее всего, потомок человека, которого в тюркской среде называли по этой двойной формуле — как знак уважения к старшинству и знатному происхождению.