Фамилия Агаеев — редкий случай, когда ударение ставит ловушку. Правильно Агае́ев, а не Ага́ев, хотя на слух разница почти незаметна. В основе лежит имя Агай — краткая форма от Агафон (греческое «добрый, благой») или от Аггей (древнееврейское «праздничный»). Но есть и другая, более неожиданная версия: Агай могло быть тюркским именем или прозвищем, означающим «господин, старший» (сравните с турецким «ага»). В таком случае фамилия несёт отпечаток не церковной, а бытовой, социальной характеристики предка — возможно, уважаемого человека или старосты.

Суффикс -еев указывает на патронимическое происхождение: Агаеев буквально «сын Агая». Форма с двумя «е» подряд (-еев вместо -ев) встречается реже, чем обычная -ов, и часто возникает, когда основа имени оканчивается на -й или -ей: Агай → Агаев, но в некоторых говорах или при документальной фиксации могли добавить лишнюю гласную, чтобы избежать зияния. Впрочем, в русской ономастике фамилии с -еев не редкость — вспомните Андреев, Матвеев, Тимофеев. Агаеев стоит в том же ряду, но с более тёмной, «некалендарной» основой.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью, где смешение славянских и тюркских имён было особенно сильным. Встречается она нечасто — по данным открытых списков, в России её носят буквально несколько сотен человек. Это значит, что все Агаеевы, скорее всего, связаны общим предком не далее чем в нескольких поколениях, и фамилия не успела разойтись по разным ветвям.

С точки зрения социальной истории, Агаеевы могли быть крестьянами или мещанами — фамилии на -ев редко встречались у дворянства, которое предпочитало формы на -ов или -ский. Но точных сведений о сословной принадлежности нет: фамилия слишком редкая, чтобы попасть в губернские родословные книги или справочники титулованных родов.

Кстати, написание с двумя «е» — Агаеев, а не Агаев — отличает эту фамилию от более распространённой азербайджанской Агаев. Если вы встретили вариант с одной «е», это, скорее всего, другой корень (от Ага, а не Агай) или описка переписчика. Будьте внимательны: в дореволюционных документах могли писать «Агаѣевъ» — через ять, но в современной орфографии это уже не встречается.