Фамилия Агафидов — редкий случай, когда родовое имя образовано напрямую от полной церковной формы, а не от её разговорного или уменьшительного варианта. В основе лежит крестильное имя Агафий (от греческого «агатос» — добрый, хороший). Обычно от таких имён в русской среде возникали фамилии на -ов: Агафонов, Агапов, Агафиев. Но здесь мы видим суффикс -ид- и окончание -ов, что выдаёт фамилию не великорусского, а греческого или южнославянского происхождения.

Модель образования на -идов (или -иду) типична для греческих фамилий, которые входили в русский обиход через духовное сословие. Выходцы из греческого духовенства, переселявшиеся в Россию в XVII–XVIII веках, нередко получали или сохраняли фамилии по такой схеме. Агафидов — это буквально «сын Агафия» (по аналогии с Христофоров, Диомидов). В русской же традиции отчество звучало бы как Агафиевич, а фамилия — Агафьев или Агафонов.

Вероятнее всего, первые носители фамилии Агафидов были связаны с церковной средой. В духовных семинариях ученикам нередко давали фамилии по имени святого или по греческому образцу, чтобы подчеркнуть книжное происхождение. Агафид мог быть семинарской фамилией, образованной от имени Агафий с искусственным суффиксом -ид, который придавал ей «учёное» звучание. Встречается такая фамилия в южных и юго-западных губерниях Российской империи, где было сильнее греческое влияние.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Агафидов стоит особняком. Агафонов — самая массовая, она от отчества Агафон. Агафиев — тоже церковная, но с другим суффиксом. Агафидов же — штучная, почти исчезнувшая форма. Если вы носите эту фамилию, то с большой долей вероятности ваши предки были либо потомками греческих переселенцев, либо происходили из духовного сословия, где такие «эллинизированные» фамилии ценились за благозвучие и связь с античным миром.