Фамилия Агарзаев образована от восточного мужского имени Агарза. Это имя составное, и его корни уходят в арабский язык. Первая часть — «ага» — означает «господин», «старший», «хозяин». Вторая — «араз» — переводится как «счастливый», «удачливый». Вместе они складывались в пожелание: родители, называя так сына, хотели, чтобы он вырос уважаемым, высокопоставленным и благополучным человеком.

Слово «ага» в тюркских языках (турецком, азербайджанском, кумыкском) стало обозначать не просто господина, а конкретный социальный статус — землевладельца, военачальника или старшего в роду. Поэтому имя Агарза могло быть не только личным пожеланием, но и указанием на происхождение из семьи, где этот титул носили.

Фамилия образована по стандартной русской модели притяжательных прилагательных: к основе Агарза добавили суффикс -ев (после звонкого согласного «з»). В буквальном смысле Агарзаев — «сын (или потомок) Агарзы». Такая модель характерна для фамилий, которые массово возникали в XIX веке у народов Кавказа и Закавказья, когда при документальном оформлении русские чиновники записывали отчество отца как фамилию.

Географически фамилия Агарзаев чаще всего встречается среди азербайджанцев, а также у народов Дагестана (особенно лезгин и табасаран). В России её можно найти в регионах, куда направлялись миграционные потоки из Закавказья: в Ставропольском крае, Ростовской области и Москве.

Стоит отметить, что вторая часть имени — «араз» — иногда трактуется иначе. В некоторых тюркских языках «араз» означает «нужда», «потребность», что даёт противоположный смысл: «господин нужды». Однако эта версия менее распространена и не подкрепляется традицией восточных имён-пожеланий, где корень почти всегда несёт положительное значение. Поэтому версия со значением «счастливый» выглядит убедительнее.