Фамилия Агаськин — редкий случай, когда суффикс -ин присоединён не к полной, а к краткой форме имени. В основе лежит имя Агасий, которое в русском быту превратилось в Агаська, а затем и в фамилию. Само имя Агасий — это народная, упрощённая форма канонического имени Агапий (от греческого «агапе» — любовь) или, реже, Агафангел. В крестьянской и мещанской среде длинные церковные имена сокращали до двух-трёх слогов, а потом к этому домашнему прозвищу добавляли фамильный суффикс. Так Агаська стал Агаськиным.

Модель образования здесь та же, что у фамилий Петькин, Васькин или Мишкин: суффикс -ин прибавляли к основе на -а/-я, указывая на принадлежность — «чей сын?» — «Агаськин», то есть сын Агаськи. В документах XVIII–XIX веков такие фамилии часто закреплялись за однодворцами и государственными крестьянами южных и центральных губерний России. В переписях встречались варианты написания: Агаскин, Огаськин, что связано с акающим произношением.

Географически фамилия Агаськин тяготеет к Пензенской, Тамбовской и Рязанской областям. В этих краях имя Агапий было в ходу среди старообрядцев, которые нередко сохраняли архаичные формы имён. Если ваш предок носил фамилию Агаськин, он с большой вероятностью был крестьянином или ремесленником из чернозёмной полосы России, а его личное имя в быту звучало как Агаська — уменьшительное, но не уничижительное, а скорее обиходное.

Другие версии, связывающие фамилию с тюркским корнем «ага» (господин, старший), маловероятны: суффикс -ин указывает на славянскую модель, а не на заимствование. Так что перед нами чисто русская фамилия, образованная от просторечной формы церковного имени.