Фамилия Акушакова — женская форма от Акушаков, и её разговорный вариант Акушаков встречается реже, чем можно подумать, глядя на окончание. Основа здесь — не «акушер» и не «акула», хотя оба слова просятся в объяснение. На деле корень, скорее всего, тюркский.

Вероятнее всего, фамилия образована от мужского имени Акушак — уменьшительной формы тюркского имени Аккуш, что означает «белая птица» или «сокол» (ак — белый, куш — птица). Такие имена давали в татарской, башкирской, казахской среде, подчёркивая быстроту, зоркость или благородство. В русской среде притяжательный суффикс -ов/-ев превратил имя в фамилию: Акушак → Акушаков, то есть «сын Акушака». Фамилия фиксируется в Поволжье и на Урале — в зоне активных контактов русских с тюркскими народами.

Менее правдоподобная версия выводит фамилию от прозвища Акушак, связанного с диалектным словом «акуша» — так в некоторых говорах называли непоседливого, вертлявого человека. Но эта гипотеза слабая: слово не имеет широкого распространения в словарях, а в ономастических работах (например, у Никонова) такие основы не фигурируют.

Суффикс -ак в имени Акушак — типичный для тюркских уменьшительно-ласкательных форм (ср. Бикбай → Бикбаков, Тимур → Тимураков). Сама фамилия Акушакова — нечастая, в списках распространённых русских фамилий она отсутствует, что подтверждает её локальное происхождение. Если ваш предок носил её в XIX веке, он с высокой вероятностью жил в Оренбургской, Уфимской или Казанской губернии, где тюркские имена легко входили в русский обиход.