Фамилия Алгайкин — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии. Её основа — Алгайка — это не имя, а название реки в Самарской области и одноимённого села на её берегу. Река Алгайка, левый приток Большого Кинеля, дала фамилию жителям этих мест, а затем и их потомкам, разошедшимся по стране. Перед нами типичная «топонимическая» фамилия, каких много в Поволжье: человек, переселившийся из Алгайки, получал прозвище Алгайка, а его дети уже записывались Алгайкиными.

Суффикс -ин здесь указывает на принадлежность: «чей?» — «Алгайкин», то есть сын или потомок Алгайки. Словообразовательная модель простая и прозрачная: географическое название на -ка (Алгайка) → прозвище по месту → фамилия на -ин. Сравните с фамилиями Сызранкин, Самаркин, Кинелькин — все они образованы по тому же принципу от названий рек и населённых пунктов Поволжья. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто происходят от мирских имён или профессий, Алгайкин почти стопроцентно указывает на конкретную малую родину предка — деревню или село на реке Алгайке.

Само название реки, скорее всего, тюркского происхождения. В татарском и башкирском языках есть слово «алга» (вперёд, передний), а также «алгай» (передовой, первый). Это делает версию о тюркском следе основной. Менее вероятна, но не исключена связь с мордовскими языками, поскольку в Самарском Заволжье издавна живут и эрзя, и мокша. Впрочем, для рядового носителя фамилии важнее другое: Алгайкины — это не случайный набор звуков, а метка, привязанная к конкретному месту на карте.

В дореволюционных метрических книгах по Самарской губернии фамилия встречается регулярно, но не массово. Носители её — в основном государственные крестьяне, позднее — мещане. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Сегодня Алгайкины живут преимущественно в Самарской, Оренбургской областях, а также в Татарстане и Башкортостане — то есть в пределах того же исторического ареала расселения. Если ваши предки — Алгайкины, скорее всего, они выходцы из Самарского Заволжья, и фамилия хранит память о небольшой речке, название которой сегодня известно лишь местным жителям да картографам.