Фамилия Альцагиров звучит необычно для русского уха, и это не случайно: её основа не славянская, а тюркская. В основе фамилии лежит мужское имя Альцагир, которое восходит к арабскому имени Аль-Джагир (аль-Джабир), означающему «могучий», «великий», «обладающий силой». Имя Джабир хорошо известно в мусульманском мире, а форма с приставкой «аль» (определённый артикль в арабском) придаёт эпитетный, возвышенный смысл: «Тот, кто могуществен».

Сама фамилия образована по типичной для тюркских народов России модели: к основе (имени Альцагир) добавили русский патронимический суффикс -ов. Этот суффикс указывает на принадлежность — «сын Альцагира». Такую схему (тюркское имя + русское окончание) массово применяли при переписях населения в XIX — начале XX века, особенно среди народов Северного Кавказа, татар и башкир. Обратите внимание на написание через «ц» вместо более привычного «дж» (Альджагиров). Это результат русской транскрипции: в тюркских языках звук «дж» (как в «джигит») в старых документах или диалектах часто передавали через «ц». Поэтому Альцагиров и Альджагиров — варианты одной фамилии, но первый указывает на более раннюю или диалектную фиксацию.

Географически фамилия привязана к регионам распространения тюркских языков и ислама. Наиболее вероятные места происхождения носителей — Дагестан (особенно кумыкские или аварские села), Чечня, Ингушетия, а также татарские и башкирские области. Встречается она редко, что говорит о том, что родоначальник был конкретным человеком, а не носителем распространённого родового имени. Таким образом, предки человека с фамилией Альцагиров — это люди, носившие имя Альцагир (в честь «могучего»), жившие на Кавказе или в Поволжье и получившие фамилию при оформлении официальных документов на русском языке.