Фамилия Альцагиров звучит необычно для русского уха, и это не случайно. Её основа — не славянская, а тюркская. Скорее всего, в основе лежит мужское имя Альцагир, которое, в свою очередь, восходит к арабскому имени Аль-Джагир (аль-Джабир), что означает «могучий», «великий», «обладающий силой». Имя Джабир хорошо известно в мусульманском мире, а его форма с приставкой «аль» («определённый артикль» в арабском) указывает на возвышенный, эпитетный смысл: «Тот, кто могуществен».

Фамилия образована по типичной для тюркских народов, живущих в России, модели: к основе (имени Альцагир) добавили русский патронимический суффикс -ов. Суффикс указывает на принадлежность: «сын Альцагира». Такую схему образования фамилий (тюркское имя + русское окончание) массово применяли при переписях населения в XIX — начале XX века, особенно среди народов Северного Кавказа, татар и башкир.

Географически фамилия привязана к регионам, где распространены тюркские языки и ислам. Наиболее вероятные места происхождения носителей Альцагировых — Дагестан (особенно кумыкские или аварские села), Чечня, Ингушетия, а также татарские и башкирские области. Встречается она редко, что говорит о том, что родоначальник был, скорее всего, конкретным человеком, а не носителем распространённого родового имени.

Интересная деталь: написание через «ц» вместо более привычного «дж» (Альджагиров) — это результат русской транскрипции. В тюркских языках звук «дж» (как в слове «джигит») часто передаётся на письме через «ц» в старых документах или в диалектах, где этот звук смягчается. Поэтому Альцагиров и Альджагиров — варианты одной фамилии, но первый указывает на более раннюю или диалектную фиксацию.

Таким образом, предки человека с фамилией Альцагиров — это люди, носившие имя Альцагир (в честь «могучего»), жившие на Кавказе или в Поволжье, и получившие фамилию при оформлении официальных документов на русском языке.