Фамилия Альцагирова — женская форма, образованная по стандартной русской модели от мужской фамилии Альцагиров. Её основа почти наверняка восходит к тюркскому прозвищу или имени. Разбираем словообразовательную модель: суффикс -ов (в мужском варианте) — типичный русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность («чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Альцагир). Окончание -а в женской форме — грамматический способ обозначить жену или дочь из этого рода.

Ключ к смыслу — корень «альцаг» или «алцаг». В тюркских языках Северного Кавказа, особенно в кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском, это слово фиксируется в значениях «низкорослый», «коротышка», а в переносном смысле — «проворный», «юркий». В некоторых диалектах встречается форма «алчак» или «алцак» со значением «низкий», «приземистый». Прозвище могли дать человеку невысокого роста или, наоборот, подчёркнуто подвижному и быстрому.

Звук «ц» в корне — характерный маркер тюркского слова, прошедшего через местные диалекты. Это позволяет уверенно отмести версию об арабском происхождении: если бы в основе лежало арабское «аль-сагир» (маленький), фамилия звучала бы как Альсагиров, а не Альцагиров. Арабский определённый артикль «аль-» здесь ни при чём, так как корень «цаг» в арабском отсутствует.

Географическая привязка фамилии — Северный Кавказ, в первую очередь Дагестан и Ставрополье. Именно там веками контактировали тюркские народы (кумыки, ногайцы) с русским языком и его фамильной системой. Переход тюркского прозвища в русскую фамилию с окончанием -ов — стандартный процесс для этого региона.

По сословной принадлежности предка ничего определённого сказать нельзя. Тюркские фамилии на -ов на Кавказе встречались и у крестьян, и у служилых людей, и у горцев, переходивших в казачество. Если фамилия фиксируется в современных базах данных, её носители — чаще всего жители республик Северного Кавказа или потомки переселенцев в центральные регионы России. Сама фамилия редкая, что делает её разбор особенно интересным: она не стёрлась от массового употребления и сохранила прямую связь с прозвищем конкретного человека — невысокого, но, возможно, очень юркого.